Der große Vorteil des 50% -Punkts ist seine Symmetrie: Wenn Sie in Andys Antwort das R und C im klassischen Tiefpassfilter vertauschen, erhalten Sie ein Hochpassfilter mit derselben Grenzfrequenz.

Wenn Sie einen anderen Punkt wählen würden (z. B. 50% der Spannung, 25% der Leistung), würden Sie immer noch einen Hochpassfilter erhalten ... aber Sie müssten die Grenzfrequenz neu berechnen, da dies für anders wäre die gleichen Komponentenwerte.

Nur der Leistungspunkt von 50% (-3 dB Verstärkung, 3 dB Dämpfung, 0,707 Spannung) gibt Ihnen die gleiche Grenzfrequenz für äquivalente Filter mit denselben Komponenten.

Im Nachhinein ist es ziemlich offensichtlich, dass das Übergeben von 50% der Leistung dem Stoppen von 50% der Leistung entspricht, und das gilt für kein anderes Verhältnis.

Dies wird in einigen Filterdesign-Texten ausgenutzt, indem eine Filterform (im Allgemeinen der Tiefpassfilter) ausführlich behandelt und die anderen Filter in Umrissen beschrieben werden. Sie können einen Hochpassfilter entwerfen, indem Sie dem Entwurfsprozess für Tiefpassfilter folgen und dann einem einfachen Prozess folgen, um den entsprechenden HP-Filter (oder Bandpass- oder Bandstopp-Filter) abzuleiten, den Sie wirklich wollten.

Warum 70,7%? Warum nicht 50% oder 20%?

Wenn eine Spannung auf 70,7% abfällt, halbiert sich die effektive Leistung, die sie in eine ohmsche Last erzeugen kann.

Wichtig ist also, dass eine Leistungsreduzierung von 50% der Spannungsreduzierung auf \ $ \ sqrt {0.50} = 0.70710678 \ $ span> oder entspricht 70,7% ungefähr.

_{Warum 50% Leistung und 70,71% Spannung in einem einfachen RC-Filter? sub>}

Wenn Sie einen einfachen RC-Tiefpassfilter wie diesen verwenden: -

Sie werden feststellen, dass die Grenzfrequenz für den Filter \ $ F_C \ $ span> ist, wenn: -

$$ R = | X_C | $$ span>

Sie werden auch feststellen, dass die Ausgangsspannung im Vergleich zur Eingangsspannung bei 70,71% liegt. Dies liegt an Pythagoras und dem Impedanzdreieck: -

Wenn Sie also Pythagoras verwenden, ist \ $ R = | X_C | \ $ span> die Nettoeingangsimpedanz \ $ = \ sqrt {R ^ 2 + R ^ 2} = \ sqrt2 \ cdot R \ $ span>.

Dies bedeutet, dass der Strom in den RC-Filter um \ $ \ sqrt2 \ $ span> im Vergleich zum Strom reduziert wird, wenn \ $ V_ {IN} \ $ span> wurde entweder auf R oder \ $ X_C \ $ span> angewendet. Dies bedeutet natürlich, dass die Spannungsamplitude am Ausgang um \ $ \ sqrt2 \ $ span> reduziert wird. Daraus folgt auch, dass die Phasenverschiebung zwischen Ausgang und Eingang 45 ° beträgt

Dies erhalten wir für einen einfachen RC-Filter (Tiefpass oder Hochpass), wenn wir gleiche Größen für R und \ $ X_C \ $ span> haben.

Nun - es ist keine einfache Aufgabe zu erklären, WARUM eine bestimmte Definition vereinbart wurde. Natürlich sollte eine solche Definition für das Ende eines Durchlassbereichs "sinnvoll" sein. Aber was bedeutet das?

• Eine mögliche Erklärung basiert - wie in den vorhandenen Beiträgen erwähnt - auf Leistungsüberlegungen.

• Als weitere Erklärung könnte PHASE SHIFT verwendet werden. Da eine solche Schaltung erster Ordnung eine maximale Phasenverschiebung von 90 ° ermöglicht (Tiefpass: Sehr große Frequenzen, Hochpass: Sehr niedrige Frequenzen), ist es sinnvoll, die Frequenz mit einer Phasenverschiebung von 45 ° als Ende des Durchlassbereichs (Abschaltung) zu definieren ). Bei dieser Frequenz sind der Real- und der Imaginärteil des Denumerators gleich. Dies ist natürlich identisch mit der amplitudenbasierten 3dB-Definition.

• Es ist zu beachten, dass es für Filter höherer Ordnung andere Definitionen gibt - abhängig von der spezifischen Übertragungsfunktion (Butterworth: 3 dB Cutoff, Chebyshev: anwendungsorientiert). Für die BESSEL-Thomson-Antwort wird der Grenzwert in einigen Anwendungen sogar im Zeitbereich definiert (basierend auf der Gruppenverzögerung).

• Ein weiterer Grund für die Definition der Umkehrung der Zeitkonstante RC als Durchlassbandende ist folgender: Mit dieser Definition passen die Filterparameter 1. oder 1. Ordnung sehr gut in das System höherer Filterordnungen. Der denominator der Übertragungsfunktion erster Ordnung ist D (s) = 1 + sRC. Die Null dieser Funktion gibt den Pol der Übertragungsfunktion an: sp = -1 / RC in der komplexen Frequenzebene (in diesem einfachen Fall: Auf der negativen reellen Achse). Die Größe dieses negativ-reellen Pols ist identisch mit der sogenannten "pole freqency".

• Dies ist ein guter Grund, diese Polfrequenz wp als Grenzfrequenz wp = wc = 1 / RC zu definieren.Warum?Denn auch für all Filter 2. oder (und für Kaskaden von Blöcken 2. Ordnung) spielt die Polfrequenz (wp = | sp |) die Hauptrolle beim Entwurf von Filterstrukturen höherer Ordnung.

• Beispiele: Für BUTTERWORTH-Antworten 2. Ordnung haben wir auch wp = wc (mit einem Grenzwert von 3 dB) und für alle Bandpassfunktionen 2. Ordnung haben wir auch eine Mittenfrequenz, die mit der Polfrequenz identisch ist (wo = wp).

Weil 70,7% der Ausgangsspannung die Hälfte der Anfangsleistung bedeuten:

$$ P = \ frac {V ^ 2} {R_L} \\ P '= \ frac {(0,707 \ V) ^ 2} {R} = 0,5 \ \ frac {V ^ 2} {R_L} = 0,5 \ P. $$ span>

Wenn Sie fragen "Warum die Hälfte der anfänglichen Leistung", gibt es keine Erklärung (zumindest weiß ich es nicht).Vielleicht über Audio oder vielleicht etwas anderes.

Wir wissen nur, dass der Punkt, an dem die Anfangsleistung auf 50% reduziert wird, als Grenzwert betrachtet wird.

Der Grenzwert liegt bei 50% Leistung, dh - 3dB.Dies ist konventionell.

Für die Spannung berechnen wir das Vo / Vi-Verhältnis in dB als 20 log (10) Vo / Vi.

Das Einstecken von - 3 in diese Gleichung für Vo / Vi ergibt 0,707, was ebenfalls sin45 und cos45 ist.

Die Grenzfrequenz wird als der Punkt definiert, an dem ein Abfall von -3 dB auftritt.Der Wert -3 dB entspricht 70,7%.Die Umrechnungen zwischen Dezibelraum und linearem Raum sind unten gezeigt. $$ 10 ^ {- 3 \ \ textrm {dB} / 20 \ \ textrm {dB}} = 0,707 $$ span>

$$ 20 \ log_ {10} \ left (0,707 \ right) \ \ textrm {dB} = -3 \ \ textrm {dB} $$ span> Einige komplementäre Filter haben eine Überkreuzung bei -3 dB.Andere haben eine Überkreuzung mit einem anderen Wert.Der Wert von -3 dB ist beliebig.In bestimmten Fällen ist dies jedoch intuitiv.

Nach meinen Lehren ist 3dB die kleinste Änderung des Schalldruckpegels, die vom menschlichen Ohr wahrgenommen werden kann.In den Tagen, in denen sich viele Messungen und Standards auf menschliche Parameter bezogen, erscheint es logisch, 3dB als Standard zu verwenden.Kombinieren Sie dies mit dem glücklichen Zufall von 50% Leistung und diesem Standard, der sich gut in elektrische Praktiken umsetzt.