Scheint, als würden die intuitiven Antworten dies nicht für Sie tun. Lassen Sie uns also die Mathematik durchgehen.
Ein Kondensator besteht aus zwei Leitern, die durch einen Isolator wie Vakuum, Luft oder ein Dielektrikum (Isolator). Wenn Sie eine Spannung über den Spalt legen, entwickelt ein Leiter eine positive Überladung, während der andere eine gleiche und entgegengesetzte negative Überladung entwickelt. Die Gleichung hierfür lautet \ $ Q = CV \ $, wobei \ $ Q \ $ die Überladung und \ $ V \ $ die Spannung ist. Das Verhältnis der beiden wird als Kapazität (\ $ C \ $) bezeichnet und wird durch die Geometrie der Leiter und die Eigenschaften des Isolators bestimmt.
In der Schaltungstheorie Wir arbeiten normalerweise mit Strom, nicht mit Ladung. Daher sehen Sie normalerweise eine andere Gleichung für Kondensatoren:
$$ i = C \ frac {dv} {dt} $$
Lassen Sie uns sehen, wie dies in einer einfachen RC-Schaltung funktioniert .
simulieren diese Schaltung - Schema erstellt mit CircuitLab sup>
Wir können das Ohmsche Gesetz und die Kondensatorgleichung verwenden, um eine KCL-Gleichung für den Knoten \ $ v_o \ $ zu erstellen.
$$ i_R = i_C $$$$ \ frac {v_i - v_o} {R} = C \ frac {dv_o} {dt} $$$$ RC \ frac {dv_o} {dt} + v_o = v_i $$
\ $ v_i \ $ und \ $ v_o \ $ sind beide Funktionen von \ $ t \ $. Dies ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Wie einfach es zu lösen ist, hängt von \ $ v_i \ $ ab. Die einfachste Situation ist, wenn \ $ v_i \ $ konstant ist:
$$ RC \ frac {dv_o} {dt} = v_i - v_o $$$$ \ int {\ frac {dv_o} {v_i - v_o}} = \ int \ frac {1} {RC} dt $$$$ - \ ln (v_i - v_o) = \ frac t {RC} + C_0 $$$$ v_i - v_o = e ^ {- t / RC} e ^ {- C_0} $$
\ $ C_0 \ $ ist eine Integrationskonstante. Der Einfachheit halber geben wir \ $ e ^ {- C_0} \ $ den Namen \ $ C_1 \ $:
$$ v_i - v_o = C_1e ^ {- t / RC} $$
Wir brauchen eine Anfangsbedingung, um nach \ $ C_1 \ $ zu lösen. Diese Bedingung ist der Wert von \ $ v_i - v_o \ $ bei \ $ t = 0 \ $. Wenn der Kondensator entladen ist, ist \ $ v_o (t = 0) = 0 \ $ und \ $ C_1 = v_i \ $, was einen exponentiellen Abfall ergibt:
$$ v_o = v_i - v_ie ^ {- t / RC} $$$$ v_o = v_i (1 - e ^ {- t / RC}) $$
Wenn der Kondensator geladen ist, ist \ $ v_o (t = 0) = v_i \ $ und \ $ C_1 = 0 \ $, was uns die Gleichstrombedingung gibt:
$$ v_o = v_i - 0 \ cdot e ^ {- t / RC} = v_i $$
Bei Gleichstrom wirkt der Kondensator also wie ein offener Stromkreis. Aber was zählt als DC? Keine Spannung ist wirklich für alle Zeiten konstant. Viele sind nicht einmal fünf Minuten lang konstant! Die Zeitkonstante \ $ RC \ $ gibt an, wie lange wir warten müssen, bis die Kondensatorspannung für unsere Anforderungen stabil genug ist. Nehmen wir an, wir betätigen einen Schalter und verbinden eine Gleichspannung über einen Widerstand mit einem ungeladenen Kondensator. Wie lange dauert es, bis sich die Kondensatorspannung auf 0,1% ihres Endwerts eingestellt hat?
$$ v_o = 0,999v_i = v_i (1 - e ^ {- t / RC}) $$$$ e ^ {-t / RC} = 0,001 $$$$ t = -RC \ ln 0,001 $$
Wenn \ $ R = 10 \ k \ Omega \ $ und \ $ C = 1 \ \ mu F. \ $, die Antwort lautet 69 Millisekunden.
Nachdem wir nun eine praktische Definition für DC haben, schauen wir uns AC an. Wir werden hier nur Sinuskurven betrachten, da Sie Fourier-Transformationen verwenden können, um jedes Signal in Sinuskurven auszudrücken. Zurück zu unserer Differentialgleichung:
$$ RC \ frac {dv_o} {dt} + v_o = V_i \ cos (\ omega t) $$
Hier gibt es einige böse Trigger dass ich nicht durchmachen werde. Ich gebe Ihnen stattdessen die Kurzversion. Basierend auf der Form der Differentialgleichung nehmen Sie an, dass \ $ v_o \ $ ungefähr so sein muss:
$$ v_o = A \ cos (\ omega t) + B \ sin (\ omega t) $$
Nach viel mehr Arbeit stellen Sie fest, dass die endgültige Antwort lautet:
$$ v_o = \ frac {V_i} {\ sqrt {1 + (\ omega RC) ^ 2}} \ cos (\ omega t - \ tan ^ {- 1} (\ omega RC)) $$
Beachten Sie, dass die Amplitude von Die Kondensatorspannung hängt sowohl von der Frequenz als auch von der RC-Zeitkonstante ab! Dies liegt daran, dass wir Ableitungen von Sinuskurven verwenden und die Ableitungen von Sinuskurven proportional zu ihrer Frequenz sind:
$$ \ frac {d} {dt} A \ cos (\ omega t + \ phi) = A \ omega \ cos (\ omega t + \ phi) $$
Beachten Sie auch, dass diese Spannung dieselbe Frequenz wie die Eingangsspannung hat, jedoch eine andere Amplitude und Phase.
Das Lösen solcher Differentialgleichungen ist schwierig und zeitaufwändig. Glücklicherweise gibt es einen einfacheren Weg - die Zeigeranalyse. Anstatt realwertige Sinus- und Cosinuswerte zu verwenden, verwenden wir komplexe Exponentiale wie \ $ e ^ {j \ omega t} \ $. Diese machen die Differentialgleichungen viel einfacher, so dass die Frequenz (die immer gleich ist) insgesamt abfällt und wir nur noch Amplituden und Phasen haben. Wir können diese zu einzelnen komplexen Werten kombinieren.
$$ v_c = V_C e ^ {j \ omega t} $$$$ i_c = I_C e ^ {j \ omega t + \ phi} = I_C e ^ {j \ omega t} e ^ \ phi $$$$ i_C = C \ frac {dv_c} {dt} $$$$ I_C e ^ {j \ omega t} e ^ \ phi = C \ frac {d} {dt} V_C e ^ {j \ omega t} $$$$ I_C e ^ {j \ omega t} e ^ \ phi = j \ omega C V_C e ^ {j \ omega t} $$$$ I_C e ^ \ phi = j \ omega C V_C $$$$ \ frac {V_C} {I_C} e ^ {- \ phi} = \ frac 1 {j \ omega C} $$
$$ Z_C = \ frac 1 {j \ omega C} $$
Diese "Impedanz" wirkt wie ein Widerstand mit komplexem Wert und folgt einer Regel, die dem Ohmschen Gesetz ähnelt. Wie Sie sehen können, hängt es auch von der Winkelfrequenz \ $ \ omega \ $ ab. Das Verhältnis von Strom zu Spannung ist groß, wenn die Frequenz groß ist, und klein, wenn die Frequenz klein ist. Im Extremfall sagen wir, dass ein Kondensator bei Gleichstrom wie ein offener Stromkreis und bei hohen Frequenzen wie ein Kurzschluss wirkt . Dies bedeutet, dass Sie bei Gleichstrom eine große Spannung an einen Kondensator anlegen können, ohne dass Strom durch ihn fließt. Bei hohen Frequenzen können Sie einen großen Strom durch einen Kondensator fließen lassen, ohne eine Spannung darüber zu sehen.
Ich hoffe, diese Mammutantwort hat einige Dinge geklärt. Bitte zögern Sie nicht, weitere Fragen zu stellen, wenn Sie etwas nicht verstehen.
