Komplexe Zahlen ähneln Vektoren, haben jedoch einige zusätzliche mathematische Eigenschaften, die sie nützlich machen. Insbesondere die Verwendung des komplexen Exponentials \ $ e ^ {j \ omega t} \ $ span> anstelle von Sinus und Cosinus erleichtert die Behandlung von Differentialgleichungen erheblich. So gelangen Sie zunächst zur komplexen Impedanz:

$$ v (t) = A \ mathrm e ^ {\ mathrm {j} \ omega t + \ theta} $$ span> $$ i (t) = B \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t + \ phi} $$ span> $$ \ frac {v (t)} {i (t)} = Z = \ frac AB \ mathrm e ^ {\ mathrm j (\ theta - \ phi)} $$ span>

Oder in Zeigerschreibweise:

$$ \ hat V = A \ angle \ theta $$ span> $$ \ hat I = B \ angle \ phi $$ span> $$ \ frac {\ hat V} {\ hat I} = Z = \ frac A B \ angle (\ theta - \ phi) $$ span>

Sie könnten für die Größe und Phase so etwas wie eine Vektornotation verwenden, aber Vektoren multiplizieren und dividieren nicht wie komplexe Zahlen, sodass nichts verbessert wird.

EDIT: Komplexe Zahlen wurden entwickelt, um bestimmte Algebra-Probleme zu lösen. Wenn Sie mehr über die Geschichte erfahren möchten, lesen Sie das erste Kapitel der Visual Complex Analysis von Tristan Needham. (Sie können die Vorschau bei Amazon lesen, wenn Sie keine gute Bibliothek zur Hand haben.)

Das zweite Kapitel des Buches kann Ihre Frage wahrscheinlich von selbst beantworten, aber ich werde es auch versuchen. Komplexe Zahlen sind gewissermaßen zweidimensionale Größen, aber was sie hier nützlich macht, ist, dass sie auch das Konzept der Rotation enthalten. Die Multiplikation mit \ $ \ sqrt {-1} \ $ span> entspricht einer 90 ° -Drehung in einer 2D-Ebene:

$$ \ mathrm i ^ 0 = 1 $$ span> $$ \ mathrm i ^ 1 = \ mathrm i $$ span> $$ \ mathrm i ^ 2 = -1 $$ span> $$ \ mathrm i ^ 3 = - \ mathrm i $$ span> $$ \ mathrm i ^ 4 = 1 $$ span>

Wir können dies mit komplexen Exponentialen erweitern, wobei wir eine Rotation um einen beliebigen Betrag darstellen:

$$ \ mathrm e ^ {j \ pi / 4} \ cdot \ mathrm e ^ {j \ pi / 4} = \ mathrm e ^ {j (\ pi / 4 + \ pi / 4)} = \ mathrm e ^ {j \ pi / 2} = \ mathrm i $$ span> $$ 45 ^ \ circ + 45 ^ \ circ = 90 ^ \ circ $$ span>

Beachten Sie, dass wir dies durch normale Arithmetik erhalten - das Multiplizieren von Exponentialen mit reellen Werten funktioniert genauso.

Warum ist das wichtig? Wir können Rotationen bereits mit Sinus und Cosinus darstellen, oder? Bei Differentialgleichungen wird dies jedoch unangenehm, vor allem, weil Sie Sinus und Cosinus nicht durch Hinzufügen kombinieren können. Andererseits ist die Ableitung von \ $ \ mathrm e ^ x \ $ span> ... selbst. Keine Probleme da!

Wo kommt also die Impedanz ins Spiel? Denken Sie über den Unterschied zwischen Gleichstrom und dem sinusförmigen stationären Zustand nach. Bei Gleichstrom sind Knotenspannungen konstante Werte mit unterschiedlichen Größen. Bei Wechselstrom sind die Knotenspannungen sinusförmig mit der gleichen Frequenz, aber unterschiedlichen Größen und Phasenwinkeln . Auch die Spannungs- / Stromverhältnisse ändern sich. Bei einem Widerstand sind Spannung und Strom in Phase. In einer Induktivität oder einem Kondensator besteht zwischen ihnen eine Phasendifferenz von 90 °.

Nun hat sich das Konzept der Rotation (Phasenwinkel) in unsere Schaltungsanalyse eingeschlichen. Wir könnten im Zeitbereich bleiben und solche Dinge tun:

$$ v = L \ frac {\ mathrm d i} {\ mathrm d t} $$ span> $$ V \ cos (\ omega t) = \ omega L \ cdot I \ cos (\ omega t - 90 ^ \ circ) $$ span>

Oder wir verwenden komplexe Zahlen, bei denen eine \ $ 90 ^ \ circ \ $ span> -Rotation nur das Multiplizieren mit i bedeutet (naja, \ $ j \ $ span> in unserem Fall - dies ist EE):

$$ V \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t} = \ mathrm j \ omega L \ cdot I \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t}$$ span>

Der Hauptvorteil hierbei ist, dass alle \ $ \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t} \ $ span> -Begriffe aus Gleichungen aufgehoben werdenUnsere Spannungs / Strom-Beziehung ist nur das Ohmsche Gesetz mit komplexen Zahlen:

$$ \ hat V = \ mathrm j \ omega L \ hat I $$ span>

Wenn ich das alles in einem Satz zusammenfassen müsste, würde ich sagen, dass Sie mit komplexen Zahlen die Rotation darstellen können, indem Sie die Größe und Phase getrennt von der Frequenz gruppieren, während Sinuskurven die Frequenz und die Phase zusammen gruppieren.

Warum werden komplexe Zahlen verwendet und keine Vektoren?

einfach, weil in der Vektoralgebra keine Vektorteilung definiert ist, können Sie das Ohmsche Gesetz einfach nicht in Teilungsform verwenden, wodurch die Berechnungen komplizierter werden. Auf der anderen Seite hat sich die Domäne der athematischen Zahl komplexer Zahlen im Laufe der Zeit weiter entwickelt als die der Vektoren. Sie haben also viele Theoreme zur Verfügung, um einfach Ihren Ausdruck zu verwenden und (leicht) eine Analyse durchzuführen. Obwohl Sie mit Vektoralgebra umgehen könnten, ist es einfacher, mit komplexen Zahlen zu arbeiten.

Lesen Sie mehr: https://math.stackexchange.com/questions/246594/what-is-vector-division

Warum wird Impedanz als komplexe Zahl dargestellt?

Betrachten Sie die folgende Schaltung:

Wenn Q die Ladung des Kondensators und i der Strom ist, haben wir mit KVL

$$ R \ times i + \ frac QC + L \ times \ frac {di} {dt} = V \ dots (1) $$ span> $$ \ impliziert \ frac {d ^ 2i} {dt ^ 2} + \ frac RL \ times \ frac {dQ} {dt} + \ frac 1 {LC} \ times i = 0 \ dots (2) $$ span> $$ \ impliziert i = Ae ^ {a_1t} + Be ^ {a ^ 2t} $$ span> Dabei ist $$ a_1, a_2 \ in C $$ span> und allgemeine Lösungen der Differentialgleichung 2. Ordnung sind immer komplexer Natur.

daher ist Ihr i ein komplexer Ausdruck, und wenn Sie diesen Wert in Gleichung 1 setzen, erhalten Sie V , was ebenfalls ein komplexer Ausdruck ist. Wenn Sie V durch i teilen, erhalten Sie einen weiteren komplexen Ausdruck, den wir Impedanz dieser Schaltung nennen. Sie sehen, der Grund, warum eine Impedanz komplex ist, liegt in der Mathematik.

Wenn Sie nun ein "Gefühl" komplexer Impedanz haben möchten, sollten Sie etwas über Zeiger lernen und eine Analogie dazu haben.

Lesen Sie mehr: https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-007-electromagnetic-energy-from-motors-to-lasers-spring-2011/lecture-notes/MIT6_007S11_lec19.pdf

Nur um darauf hinzuweisen, dass Sie die Impedanz als Matrix darstellen können:

$$ R + \ mathrm j X \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} R & X \\ -X & R. \ end {bmatrix} $$ span>

Dies ist in der Tat die Matrixdarstellung komplexer Zahlen. Andererseits können Sie sinusförmige Signale (aber keine Impedanz) mit Vektoren darstellen:

$$ x _ {\ cos} + \ mathrm j x _ {\ sin} \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} x _ {\ cos} \\ x _ {\ sin} \ end {bmatrix} $$ span>

Addition / Subtraktion / Skalierung von Impedanz und Sinuskurven sind offensichtlich nur die gleichnamigen Operationen an Matrizen und Vektoren. Die Admittanz ist die der Impedanz inverse Matrix:

$$ (R + \ mathrm j X) ^ {- 1} \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} R & X \\ -X & R. \ end {bmatrix} ^ {- 1} = \ frac 1 {(R ^ 2 + X ^ 2)} \ begin {bmatrix} R & -X \\ X & R. \ end {bmatrix} $$ span>

Sie können die Impedanz mit dem Strom oder die Admittanz mit der Spannung multiplizieren:

\ begin {align} \ begin {bmatrix} R & X \\ -X & R. \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i _ {\ cos} \\ ist in} \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} R i _ {\ cos} + X i _ {\ sin} \\ R i _ {\ sin} - X i _ {\ cos} \ end {bmatrix} \\ \ begin {bmatrix} G & B \\ -B & G. \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u _ {\ cos} \\ u _ {\ sin} \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} G u _ {\ cos} + B u _ {\ sin} \\ G u _ {\ sin} - B u _ {\ cos} \ end {bmatrix} \ end {align} span>

Die Phasendifferenz ist auch eine Matrix:

$$ {\ mathrm e} ^ {\ mathrm j \ varphi} = \ cos \ varphi + \ mathrm j \ sin \ varphi \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} \ cos \ varphi & \ sin \ varphi \\ - \ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {bmatrix} $$ span>

Derivat ist einfach \ $ \ omega \ $ span> mal eine 90-Grad-Phasenführung:

$$ \ mathrm j \ omega \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} 0 & \ omega \\ - \ omega & 0 \ end {bmatrix} $$ span>

Mit dem, was wir bisher haben, können wir Differentialgleichungen als Matrixgleichungen schreiben

\ begin {align} U_0 \ cos {\ omega t} = u + R C \ frac {\ mathrm du} {\ mathrm d t} \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} U_0 \\ 0 \ end {bmatrix} = (\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} + R C \ begin {bmatrix} 0 & \ omega \\ - \ omega & 0 \ end {bmatrix}) \ mathbf u = \ begin {bmatrix} 1 & R C \ omega \\ -R C \ omega & 1 \ end {bmatrix} \ mathbf u \ end {align} span>

... und lösen Sie es, indem Sie die inverse Matrix von \ $ \ begin {bmatrix} berechnen 1 & R C \ omega \\ -R C \ omega & 1 \ end {bmatrix} \ $ span> und multipliziere es dann mit dem Vektor \ $ U_0 \ $ span>.

Wie Sie jedoch sehen können, ist dieses Notationssystem ziemlich ausführlich und bietet keine intuitive Darstellung von Phase und Amplitude (alles ist im Wesentlichen in kartesischen Koordinaten).

Übrigens hat die Leistung eine ordentliche Darstellung als Vektorpunktprodukt:

$$ \ frac 1 2 (u _ {\ cos} i _ {\ cos} + u _ {\ sin} i _ {\ sin}) = \ frac 1 2 {\ mathbf i} ^ {\ mathrm T} \ mathbf u = \ frac 1 2 \ begin {bmatrix} i _ {\ cos} & i _ {\ sin} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u _ {\ cos} \\ u _ {\ sin} \ end {bmatrix} $$ span>

Kurz gesagt: Sie können eine Impedanz als Vektortyp visualisieren, aber die Vektormathematik erfasst das Verhalten der Impedanz nicht. Komplexe Zahlen sind anfangs nicht so ansprechend, aber mathematisch funktionieren sie ähnlich wie die Impedanzfunktion innerhalb einer Schaltung.

Dies kombiniert zwei Konzepte, die ich separat behandeln werde: Wie verhält sich eine komplexe Impedanz und wie repräsentiert eine komplexe Zahl dies?

Während ein Widerstand nur die Größe eines Signals durch Absorption von Energie ändert, kann eine komplexe Impedanz sowohl die Größe als auch die Phase des Signals ändern. Dies bedeutet, dass die Impedanz Energie aus dem Signal speichern und diese Energie später an das System zurückgeben kann. Dies verursacht eine verzögerte Antwort, die für periodische Signale als Drehung in beide Richtungen erscheinen kann

Der kombinierte Effekt auf Größe und Richtung bringt uns zurück zu Ihrer Frage: Warum verwenden wir keinen Vektor? Im Allgemeinen tun wir das! Stromversorgungssysteme verwenden ein ähnliches Konzept, das als Zeiger bezeichnet wird.

Dies stellt dar, was passiert, wenn ein Signal (Strom I) einer bestimmten Frequenz durch eine Impedanz Z gedrückt wird. Der Strom beginnt mit einer Größe und Phase (Winkel), die die Impedanz durch ihre eigene Größe und Phase (Drehung) ändert. . Die resultierende Spannung V ist das Produkt der Größen, die um die Summe der Winkel gedreht werden

Zeiger sind wichtig, wenn Sie mit mehreren Leistungsphasen arbeiten. Dabei verfolgt jeder Zeiger die Differenz zwischen komplexen Werten. Bei den meisten Audio- oder HF-Signalen, bei denen eine gemeinsame Referenz erkennbar ist, fallen die V-, I- und Z-Zeiger in einzelne (komplexe) Werte zusammen.

Dies führt zum letzten Teil der Antwort.Komplexe Skalare erfassen dieselben Informationen wie Vektoren - Größe und Winkel -, funktionieren jedoch mathematisch nicht auf die gleiche Weise.Wenn eine HF-Frequenz als Vektorwert beschrieben würde, würde die Modellierung einer Impedanz eine Matrixmultiplikation erfordern, um die Auswirkungen sowohl auf die Größe als auch auf die Phase zu erfassen.Keine Art von Vektormultiplikation würde genügen.Komplexe Zahlen arbeiten auf die gleiche Weise wie die Impedanz und bieten das perfekte Werkzeug, um sowohl den Wert als auch die Funktion einer Impedanz darzustellen.

Der Imaginärteil repräsentiert die Phase oder Verzögerung einer Sinuswelle. Es kann durch Einheiten von pi, Grad oder eine komplexe Zahl dargestellt werden.

Quelle: https://www.mathsisfun.com/algebra/amplitude-period-frequency-phase-shift.html

Eine elektrische Komponente kann eine Phasenverschiebung in einer Sinuswelle verursachen (Induktoren und Kondensatoren tun dies).Wir können darstellen, um wie viel ein Kondensator oder Induktor die Phase als imaginäre Komponente verschiebt, und sie als Widerstände behandeln.Dies vereinfacht die Schaltungsanalyse

Die Eigenschaft ist erwünscht, da wir imaginäre Mathematik verwenden können, um die Phaseninformationen zu übertragen. Dies ist viel einfacher als das Hinzufügen von Sin-Funktionen mit der Phase zusammen.

Die komplexe Impedanz kann entweder in Zeiger (polare Domäne) oder orthogonal (kartesische Domäne)

Polarkoordinaten sind für die Phasenverschiebung mit einer Frequenz bei der Analyse von Stromversorgungssystemen nützlicher.

Die orthogonale Domäne ist für die Elektronik nützlicher, wenn explizite Parameter für DCR, ESR und Verlust im Vergleich zu gespeicherten reaktiven Maßnahmen verfügbar sind und häufig in Datenblättern angegeben werden.

Mathematik: Eine komplexe Zahl wird verwendet, um die Domäne von t in Frequenz zu ändern.Im t-Bereich sind die Gleichungen differentiell und integral, im Frequenzbereich sind die Gleichungen einfach.Siehe Laplace-Transformation.Dies ist eine mathematische Lösung, die die Idee eines Zeigers erzeugt.Der physikalische Effekt, den Sie im ursprünglichen Zeitbereich aufgrund von Strom- oder Spannungsänderungen in der Zeit um di / dt oder Integral von i.dt für die Probe sehen, können Sie im Frequenzbereich sehen, um die imaginäre Komponente der komplexen Zahl zu verwenden.Z = r + jx enthält einen Realteil R und einen Teil X, die die Auswirkungen der Änderungen aufgrund des Wechselstroms in der Induktivität als Faradaysches Gesetz und in der Kapazität bedeuten.Die physikalische Vorstellung von Zeiger unterscheidet sich vom Vektor. Sie bedeutet eine abwechselnde zeitliche Änderung als Senoidkurve, wird jedoch ohne Verwendungszeit geschrieben

Tatsächlich ist die Impedanz die Sonne eines realen Wertes (Widerstands) und eines Vektors.Ihr j = sqrt (-1) ist tatsächlich ein Einheitsvektor.Bitte halten Sie dies streng geheim, aber es gibt zwei andere Einheitsvektoren orthogonal zu j.Wir nennen sie i und k.i, j und k sind die Standardeinheitsvektoren im dreidimensionalen Raum, und jeder ist eine Quadratwurzel von -1.Ferner ist das Kreuzprodukt i X j = k.Komplexe Zahlen sind also nur eine Teilmenge dieses seltsamen Raums von Vektoren plus reellen Zahlen.Denken Sie daran, Äpfel und Affen hinzuzufügen.