Die Resonanzfrequenz wird mit Sicherheit

\ $ \ omega = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $ [rad / s]

oder

\ $ f = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {LC}} \ $ [Hz]

Ihre Formel für Z muss falsch sein. Sie sollten am Ende Folgendes haben: s>

Die Impedanz lautet:

\ $ Z (\ omega) = -j \ frac {\ omega L. } {\ omega ^ {2} LC-1} + R \ $

Vielleicht komplexe Zahlen vergessen, mit den Reaktanzen \ $ Xl \ $ und \ $ Xc \ $ sollte es einfacher sein. Wir können das tun, weil wir dies als ideale Spule und Kondensator betrachten (Vektorwinkel sind -90 und +90).

Resonanz tritt auf, wenn \ $ Xl = Xc \ $. Impedanzvektoren für die ideale Spule und den idealen Kondensator sind entgegengesetzt, so dass sie subtrahieren und der Impedanzvektor gleich Null ist.

\ $ Xc = \ frac {1} {2 \ pi {fC}} \ $

\ $ Xl = {2 \ pi {fL}} \ $

Sie müssen also f hier finden:

\ $ {2 \ pi {fL}} = \ frac {1} {2 \ pi {fC}} \ $

mit Omega wird einfacher

\ $ {\ omega {L}} = \ frac {1} {\ Omega {C}} \ $

\ $ {\ Omega {L}} * {\ Omega {C}} = 1 \ $

\ $ {\ Omega \ Omega { LC}} = 1 \ $ (ich habe keine Ahnung, wie man hier Strom erzeugt)

... (Ich werde dies kurz fassen, diese Syntax ist nicht geeignet, Formeln "on the fly" p zu transformieren >

\ $ \ omega = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $ [rad / s]

Ich habe ein Bild zum besseren Verständnis der Resonanz erstellt:

Wenn also Resonanz auftritt - im hypotetisch idealen LC-Schaltkreis gibt es keine Leistungsverluste bei der Reaktanz. Energie fließt von der Spule (Magnetfeld) zum Kondensator ( elektrisches Feld) und es fließt mit Resonanzfrequenz hin und her.

Im wirklichen Leben verursachen einige Ströme Wärmeverluste an den Spulenwicklungen Ein Teil des elektrischen Feldes wird durch den Widerstand zwischen den Kondensatorelektroden entladen. Diese Verluste wirken sich nicht auf die Resonanzfrequenz aus, es gibt jedoch einige andere parasitäre Verluste (Induktivität im Kondensator, Kapazität in der Spule usw.), Kapazitäts- und Induktivitätsänderungen aufgrund von Änderungen der Umgebung (Temperatur, magnetische Permeabilität der Spulenumgebung und sie können die Resonanzfrequenz geringfügig ändern .

Ihre Berechnung der von der Quelle gesehenen Impedanz ist korrekt.

Es gibt eindeutig eine spezielle (Winkelfrequenz)

$$ \ omega_0 = \ frac {1 } {\ sqrt {LC}} $$

wo sich in der Impedanz ein Pol befindet - die Impedanz geht ins Unendliche.

Nun schauen wir mal am dual der angegebenen Schaltung:

^{simulieren diese Schaltung - Schema erstellt mit CircuitLab sup>}

Für die Doppelschaltung beträgt die von der Quelle gesehene Impedanz

$$ Z = R || (j \ omega L +) \ frac {1} {j \ Omega C}) = R \ Frac {1 - \ Omega ^ 2LC} {1 - \ Omega ^ 2LC + j \ Omega RC} $$

und jetzt haben wir a Null bei \ $ \ omega_0 \ $ - die Impedanz geht auf Null.

In beiden Fällen befindet sich der Pol oder die Null auf dem \ $ j \ omega \ $ Achse. Im Allgemeinen ist dies nicht der Fall.

Wie finden Sie die Resonanz im Allgemeinen?

In diesem Zusammenhang (RLC) ist die Resonanzfrequenz die Frequenz wobei die Impedanz des Induktors und des Kondensators gleich groß und im Vorzeichen entgegengesetzt ist.

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Aus dem Wikipedia-Artikel "RLC-Schaltung". , Abschnitt " Eigenfrequenz":

Die Resonanzfrequenz wird als Impedanz definiert, die einer Antriebsquelle präsentiert wird. Es ist weiterhin möglich, dass die Schaltung (eine Zeit lang) weiter oszilliert, nachdem die Treiberquelle entfernt wurde oder sie einem Spannungsschritt ausgesetzt ist (einschließlich eines Schrittes auf Null). Dies ähnelt der Art und Weise, wie eine Stimmgabel nach dem Anschlagen weiter klingelt, und der Effekt wird oft als Klingeln bezeichnet. Dieser Effekt ist die maximale Eigenresonanzfrequenz des Schaltkreises und entspricht im Allgemeinen nicht genau der angesteuerten Resonanzfrequenz, obwohl die beiden normalerweise ziemlich nahe beieinander liegen. Verschiedene Begriffe werden von verschiedenen Autoren verwendet, um die beiden zu unterscheiden, aber unqualifizierte Resonanzfrequenz bedeutet normalerweise die angetriebene Resonanz Frequenz. Die angesteuerte Frequenz kann als ungedämpfte Resonanzfrequenz oder ungedämpfte Eigenfrequenz bezeichnet werden, und die Spitzenfrequenz kann als gedämpfte Resonanzfrequenz oder gedämpfte Eigenfrequenz bezeichnet werden. Der Grund für diese Terminologie ist, dass die angesteuerte Resonanzfrequenz in einer Reihe oder Parallelschwingkreis hat den Wert 1

$$ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} $$

Genau das ist das gleiche wie die Resonanzfrequenz eines LC-Schaltkreises, dh eines ohne vorhandenen Widerstand, das heißt, es ist dasselbe wie ein Stromkreis, in dem keine Dämpfung vorliegt, daher ungedämpfte Resonanzfrequenz. Die Spitzenresonanzfrequenz hängt dagegen vom Wert des Widerstands ab und wird als gedämpfte Resonanzfrequenz bezeichnet. Ein stark gedämpfter Stromkreis kann überhaupt nicht mitschwingen, wenn er nicht angesteuert wird. Eine Schaltung mit einem Widerstandswert, der bewirkt, dass sie sich gerade am Rand des Klingelns befindet, wird als kritisch gedämpft bezeichnet. Jede Seite der kritisch gedämpften Seite wird als unterdämpft (Klingeln tritt auf) und überdämpft (Klingeln wird unterdrückt) beschrieben.

Schaltungen mit Topologien, die komplexer als einfache Reihen oder Parallelschaltungen sind (einige Beispiele, die später in diesem Artikel beschrieben werden), haben eine Ansteuerung Resonanzfrequenz, die von \ $ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $ abweicht, und für diejenigen, bei denen die ungedämpfte Resonanzfrequenz, die gedämpfte Resonanzfrequenz und die angetriebene Resonanzfrequenz unterschiedlich sein können.

Siehe Abschnitt " Andere Konfigurationen" für Ihre 2. Schaltung.

Zusammenfassend sind die Frequenzen, bei denen die Impedanz real ist, bei denen die Impedanz stationär ist (max oder min) und bei denen die Reaktanzen des L & C gleich sind, kann gleich oder verschieden sein und jede ist eine Art von Resonanzfrequenz

Der Grund, warum Sie Probleme haben, ist, dass das Einstellen des Imaginärteils der Impedanz auf Null, um die Resonanzfrequenz zu ermitteln, nur für Serien-RC-Schaltungen funktioniert. Wenn bei Parallelschaltungen ein Widerstand in der Schaltung vorhanden ist, tritt eine Resonanz auf, bei der die Impedanz maximal ist, und eine Resonanz tritt auf, wenn die Admittanz einen Imaginärteil von Null hat.

Wenn Sie einen idealen Induktor und einen idealen Kondensator parallel haben, beträgt die Resonanzwinkelfrequenz einfach \ $ \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $. Wenn ein Widerstand in Reihe mit dem Induktor oder Kondensator liegt, ist es so, als ob diese Komponenten nicht ideal sind, und die obige Gleichung gibt nicht mehr die Frequenz der maximalen Amplitude an.

Sie haben dies korrekt abgeleitet: -

\ $ Z = = R + \ dfrac {j \ omega L} {1- \ omega ^ 2 LC} \ $

Nun, welche Bedingung würde sich ergeben, die die Impedanz unendlich machen würde?

Dies kann nur dann der Fall sein, wenn der Nenner gleich Null ist: -

\ $ 1- \ omega ^ 2 LC \ $ = 0 und Neuanordnung, \ $ \ omega = \ dfrac {1} {\ sqrt {LC}} \ $

Für den 2. Teil der Frage (nicht idealer Induktor) haben Sie eine Formel für Omega, wenn die Impedanz der RLC-Schaltung rein real ist, dh kein Imaginärteil der Impedanz. Ich werde versuchen zu beweisen, dass: -

Z = \ $ \ dfrac {R + j \ Omega L} {1 + j \ Omega CR - \ Omega ^ 2LC} \ $.

Sie müssen den Nenner real machen, indem Sie oben und unten mit dem komplexen Konjugat des Nenners multiplizieren. Dann können Sie den Nenner ignorieren, weil er echt ist. Der Zähler wird zu: -

\ $ (R + j \ Omega L) \ cdot (1-j \ Omega CR - \ Omega ^ 2LC) \ $ - Beachten Sie das \ $ j \ Omega CR \ $ Der Term ist jetzt negativ.

Multiplizieren wir: -

\ $ R - j \ Omega CR ^ 2 - \ Omega ^ 2 LCR + j \ Omega L -j ^ 2 \ omega ^ 2 LCR - j \ omega ^ 3 L ^ 2C \ $

Setzen Sie nun die Imaginärteile mit Null gleich: -

\ $ 0 = - \ omega CR ^ 2 + \ omega L - \ omega ^ 3 L ^ 2 C \ $ und durch Omega dividieren, um

\ $ \ omega ^ 2 L ^ 2 C + CR ^ 2 = L \ $ und daher zu erhalten p>

\ $ \ omega ^ 2 = \ dfrac {L} {L ^ 2 C} - \ dfrac {CR ^ 2} {L ^ 2 C} \ $, was \ $ \ omega = \ sqrt {\ bedeutet dfrac {1} {LC} - \ dfrac {R ^ 2} {L ^ 2}} \ $

Wenn Sie berechnen würden, wo sich der Pol befindet (unabhängig von der Komplexität der Impedanz ist es einfacher - Sie müssen den Nenner mit Null gleichsetzen und die Lösung einer quadratischen Gleichung verwenden, um den Wert des Komplexes zu ermitteln. Der Nenner lautet: -

\ $ s ^ 2 + s \ dfrac {R} {L} + \ dfrac {1} {LC} \ $

Daher ist s = \ $ \ dfrac {- \ dfrac {R} {L}} {2} +/- \ sqrt {\ dfrac {R ^ 2 } {4L ^ 2} - \ dfrac {1} {LC}} \ $

Um die Komplexität von s zu erhalten, negieren Sie das pa rt unter dem Quadratwurzelzeichen und bringen Sie \ $ \ sqrt {-1} \ $ nach draußen, um den Operator "j" zu bilden: -

\ $ j \ omega = +/- j \ sqrt {\ dfrac {1} {LC} - \ dfrac {R ^ 2} {4L ^ 2}} \ $

Dieser zweite Teil der Gleichung befindet sich auf der JW-Achse und stellt dar, wo sich die Polkoordinate entlang dieser Achse befinden würde. Der erste Teil der obigen Gleichung ist der Realteil von s im Pol-Null-Diagramm.

Schlussfolgerung - es gibt zwei wichtige Frequenzen im Fall des verlustbehafteten Induktors, der parallel mit einem Kondensator in Resonanz ist - wie geht es Ihnen? lerne von A nach B zu kommen. Manchmal ist es ein echter Kampf und du musst nur ein bisschen tiefer graben. Ich sage, es gibt zwei Frequenzen, aber tatsächlich gibt es eine andere Frequenz, die wichtig ist - den 3dB-Abrollpunkt, aber ich gehe heute nicht dorthin.

Dies ist eine Schaltung, in der der LC "antiresoniert" - bei einer bestimmten Frequenz ist die kombinierte Impedanz unendlich (oder in einer praktischen Schaltung mindestens maximal). Diese Konfiguration wird zum Einstellen von AM-Radio und anderswo verwendet - wie Sie bemerkt haben, wird die Übertragungsfunktion bei der Resonanzfrequenz 1.

Ich hatte das gleiche Problem mit der Resonanzfrequenz. Als ich jemanden nach einer allgemeinen Methode zum Ermitteln der Resonanzfrequenz eines Stromkreises fragte, wurde mir gesagt, dass ich die Übertragungsfunktion anstelle der Impedanz über die Schaltung verwenden soll.

Wenn wir die Übertragungsfunktion verwenden möchten, verwenden wir benötigen 4 Knoten (2 für die Eingabe und 2 für die Ausgabe). Dies ist sinnvoll, da die Phasenverschiebung eines Signals bei Resonanz gleich Null ist und die Phasenverschiebung eines Signals nur ausgewertet werden kann, wenn das ursprüngliche Signal und das verschobene (Ausgangs-) Signal bekannt sind.

Nun das Ich habe ein Eingangs- und Ausgangssignal / eine Impedanz. Ich kann den Imaginärteil meiner Übertragungsfunktion finden und auf Null setzen. Nachdem ich den Imaginärteil der Übertragungsfunktion auf Null gesetzt habe, löse ich nur nach Omega, und es stellt sich heraus, dass diese Methode für den Bandpassfilter funktioniert, der in der ursprünglichen Frage veröffentlicht wurde.

Auch hier ist es intuitiv sinnvoll, den Imaginärteil der Übertragungsfunktion auf Null zu setzen, da die Übertragungsfunktion den Eingang mit dem Ausgang einer Schaltung vergleicht.

Wenn ich U_out wie folgt definiere:

^{simulieren Sie diese Schaltung - Schema erstellt mit CircuitLab sup>}

Wir haben das ursprüngliche Problem (ohne Übertragungsfunktion) effektiv in ein Problem mit einer Übertragungsfunktion umgewandelt. Dies ist eindeutig kein Bandpassfilter, wenn überhaupt ein Bandstoppfilter.

In diesem Problem kann ich zeigen, dass die Übertragungsfunktion gleich der Impedanz der ursprünglichen Schaltung ist: $$ U_ {out } = U_ {in} \ cdot (R + (Z_L || Z_C)) \ Rightarrow H (\ omega) = \ frac {U_ {out}} {U_ {in}} = R + (Z_L || Z_C) = Z_ {ofTheFirstCircuit} $$

Solange die Resonanzfrequenz dieser neuen Schaltung die beabsichtigte Resonanzfrequenz ist, sollte es sicher sein, die Berechnung mit der Impedanz und nicht mit der Übertragungsfunktion durchzuführen. Am besten bleiben Sie einfach bei der Übertragungsfunktion und stellen sicher, dass

wie immer am Ende immer gilt: $$ \ phi = arctan (\ frac {Im (Z)} {Re (Z)}) \ Rightarrow Im (Z) = 0, \ phi = 0 $$ Wobei Z die Übertragungsfunktion ist (unabhängig davon, ob sie der Impedanz entspricht oder nicht).

Ich hoffe, dies löst unser Problem. Ich habe es noch nicht auf anderen Schaltkreisen getestet, daher kann ich nicht garantieren, dass es immer funktioniert, aber im Moment bin ich mit dieser Methode zufrieden und Ich sehe keine Situation, in der es nicht funktioniert.

Hinweis:

$$ Wo \: \ omega \ ne \ infty $$

In diesem Fall gibt es keine Phasenverschiebung.

Da im Parallelkreis der Imaginärteil der Admittanz Null sein sollte, nicht der der Impedanz .... was für einen Maximalwert der Spannung erforderlich ist. Während der Strom im Serienresonanzkreis für einen konstanten Spannungswert maximal sein sollte ... hier sollte also der Imaginärteil der Impedanz Null sein.