Frage:
Warum hat periodische Signale nur ganzzahlige Frequenzen, nichtperiodische jedoch nicht?
xenon
2011-08-24 12:07:58 UTC
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Warum hat ein periodisches Signal nur ganzzahlige Frequenzwerte, während ein nichtperiodisches Signal alle reellen Zahlen als Frequenzwerte hat?

Die Frequenz gibt nur an, wie oft ein vollständiger Zyklus in einem einzigen aufgetreten ist zweite Zeit. Warum können dann bei einem periodischen Signal nicht beispielsweise 5,3 oder 2,486 Zyklen in einer Sekunde auftreten? Und für nichtperiodische Signale kommt das gesamte Signal in einem Durcheinander (nicht in der richtigen Sinuswellenform). Es ist kein Standardzyklus zu berücksichtigen. Wie könnte dann die Frequenz überhaupt berechnet werden?

Das klingt nach vielen Dingen, die ich gehört habe, wenn jemand, der Signale nicht versteht, jemanden lehrt, wenn er versucht, Signale zu lehren. Es tut mir leid zu sagen, dass der einfachste Weg, dieses Problem zu beheben, darin besteht, eine weiße Tafel herauszuholen und die Art der Frequenz zu besprechen.
Dies wurde mir während des Vortrags gesagt, aber ich verstehe nicht, wie das so ist.
xEnOn, ich hasse es, das zu hören. Ich hoffe, dass die Leute eine ausgezeichnete Antwort schreiben und sie klären.
Zwei periodische Signale, deren Frequenzen rationale Vielfache voneinander sind (z. B. 222,2 Hz und 333,3 Hz, da 222,2 2/3 * 333,3 und 333,3 3/2 * 222,2 ist), summieren sich, um ein weiteres periodisches Signal zu erzeugen, dessen Frequenz beide unterteilt (z 111,1 Hz). Zwei periodische Signale, deren Frequenzen keine rationalen Vielfachen voneinander sind, ergeben ein nichtperiodisches Signal. Einige, wenn auch nicht alle nichtperiodischen Signale können als die Summe einer endlichen Anzahl von periodischen Signalen ausgedrückt werden, einige als die Summe einer zählbar unendlichen Anzahl solcher Signale, und einige können nicht als eine solche Summe bei ausgedrückt werden alles.
Zwei antworten:
#1
+7
stevenvh
2011-08-24 13:45:01 UTC
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Angenommen, Sie haben eine Grundfrequenz von 100 Hz . Das heißt, es wiederholt alle 10 ms die blaue Kurve in der Grafik.

Harmonics

Dieses Signal kann eine 3. Harmonische (violette Kurve) haben. Das ist also bei 300 Hz und wiederholt sich daher alle 3,3 ms. Es muss ein genaues Vielfaches der Grundfrequenz sein, damit es auch einen neuen Zyklus startet, wenn die Grundwelle einen neuen Zyklus startet, nämlich nach 10 ms. In diesem Moment ist 1 Zyklus der Grundwelle und 3 der 3. Harmonischen vergangen. Gleiches gilt für die fünfte Harmonische (braune Kurve): Nach 10 ms sind fünf Zyklen vergangen und es beginnt ein neuer Zyklus, während die anderen Harmonischen einen neuen Zyklus starten. Die Situation nach 10 ms ist also für alle Harmonischen genau die gleiche wie zum Zeitpunkt 0. Und genau diese Frequenz wiederholt sich alles nach einem bestimmten Zeitraum.

Angenommen, ich habe eine Grundfrequenz von 200 Hz (blaue Kurve unten), sodass Sie alle 5 ms dieselbe Welle erneut sehen. Und dass Sie eine zweite Komponente bei 500 Hz (pink) haben, das ist also kein genaues Vielfaches von 200 Hz. Was geschieht? Die 200 Hz starten einen neuen Zyklus bei 0 ms, 5 ms, 10 ms, 15 ms, 20 ms usw. Die 500 Hz-Komponente startet einen neuen Zyklus bei 0 ms, 2 ms, 4 ms, 6 ms, 8 ms, 10 ms, 12 ms usw. Bei 5 ms startet der erste einen neuen Zyklus Zyklus, aber der zweite nicht, daher werden wir an diesem Punkt keine Wiederholung der 0 ms sehen. Wir machen das bei 10ms, weil dann beide Komponenten einen neuen Zyklus starten. Und sie werden auch bei 20ms, nicht früher.

Harmonics graph

Wir sehen, dass die Grundfrequenz 100 Hz beträgt (braune Kurve), auch wenn bei dieser Frequenz keine Welle vorhanden ist! Aber das ist die höchste Frequenz, die 200 Hz und 500 Hz als exakte Vielfache hat.

Brauchen wir dann nicht diese Grundfrequenz? Es scheint, dass wir es manchmal nicht tun. Unser Gehirn kann das fehlende Fundament in Audio rekonstruieren. Nehmen Sie ein Audiosystem, bei dem die Lautsprecher beispielsweise 50 Hz nicht wiedergeben können, weil es zu niedrig ist. Wenn Ihr Signal aus einer 50-Hz-, einer 100-Hz- und einer 150-Hz-Welle besteht, werden nur die 100-Hz- und 150-Hz-Welle wiedergegeben. Wir nehmen dies jedoch als ein 50-Hz-Signal wahr!

Die Grundfrequenz ist der größte gemeinsame Teiler (GCD) aller seiner Komponenten. Je mehr Frequenzen vorhanden sind, die keine einfachen Verhältnisse haben, desto niedriger wird diese Grundfrequenz sein, bis Sie zu Rauschen gelangen, das theoretisch alle Frequenzen enthält und eine Grundfrequenz von Null hat, dh dass es sich überhaupt nicht wiederholt !
Digitale Rauschgeneratoren versuchen, ein Rauschen von guter Qualität zu erzeugen, indem sie die Grundfrequenz so niedrig wie möglich halten, z. B. 0,001 Hz, was bedeutet, dass dieselbe Sequenz alle 18 Minuten wiederholt wird.

@stephenvh - Schöne Antwort. @ all - In Bezug auf Audio-Wahrnehmungen fand ich diesen Link sehr interessant: http://en.wikipedia.org/wiki/Binaural_beats
Vielen Dank für die klare Erklärung. Ist der Grund, warum periodische Signale nur ganzzahlige Frequenzwerte haben, der, dass es definitiv einen ganzzahligen Wert für ihre Harmonischen gibt? Wie 3f, 5f sind alle ganze Zahlen. Dürfen die Frequenzoberwellen in Dezimalstellen wie 2,5 f liegen?
@xEnOn - sie müssen ganze Zahlen sein. Wenn Sie 2,5 f hätten, wäre die Grundwelle tatsächlich 0,5 f. Andernfalls sieht die erste "Periode" anders aus als die zweite.
@xEnOn: Die Harmonischen sind ganzzahlige Vielfache der Grundwelle. Die Grundwelle (oder Oberschwingungen) muss KEIN ganzzahliger Wert sein ... wer auch immer gesagt hat, dass das völlig falsch ist. Eine Sekunde ist im Grunde eine zusammengesetzte Einheit. Wenn wir eine neue Zeiteinheit mit dem Namen "Wibble" mit einem Konvertierungsverhältnis von 2,333 Sekunden zu einem Wibble definieren und damit die Frequenz angeben, ändert sich, was eine ganzzahlige Frequenz ist und was nicht. Die Welle selbst hat sich nicht geändert, und die Eigenschaft, periodisch zu sein, hat sich auch nicht geändert. Periodisch ist so einfach wie "Wiederholt es?".
@stevenvh: Ja, wenn ich 2.5f hätte, müsste sich auch die Grundfrequenz ändern. Aber sei es bei 2.5f oder 5f, die Kurven würden gleich aussehen, stimmt das? Ist die braune Kurve in der Grafik das zusammengesetzte Signal der anderen? Wie wurde die zusammengesetzte Signalkurve aus den harmonischen Kurven abgeleitet?
@darron: hmm .. Ich bin ein wenig verwirrt. Was ich im Titel dieser Frage geschrieben habe, dass "ein periodisches Signal nur ganzzahlige Frequenzwerte hat, während ein nicht periodisches Signal alle reellen Zahlen als Frequenzwerte hat", ist falsch? Beziehen sich die "ganzzahligen Frequenzwerte" und "reellen Zahlenfrequenzwerte" auf die Harmonischen 5f, 10f usw.?
Ja, das ist falsch Ich bin überrascht, dass niemand ausdrücklich darauf hingewiesen hat. Kortuk kommentierte, sagte aber nicht ausdrücklich, was er für deprimierend hielt. Wenn periodisch definiert würde, was Sie sagen, wäre dies eine allgemein nutzlose Unterscheidung, die nur Menschen verwirren könnte. Ein 0,9-Hz-Signal wird alle 0,9 Sekunden wiederholt, daher ist es periodisch. Die dritte Harmonische von 0,9 wäre 2,7 Hz, ebenfalls periodisch. Vielleicht haben Sie falsch gehört, oder gibt es einen anderen seltsamen Kontext?
@xEnOn - Ja, die braune Kurve ist die Summe der beiden anderen. Wählen Sie eine beliebige Stelle in der Grafik und messen Sie die Höhe von Blau und Rosa. Sie werden sehen, dass das Braun die Summe ist, wobei die Zeichen berücksichtigt werden. Ich wollte zeigen, dass die blaue Kurve nicht die Grundkurve sein kann, da die rosa Kurve kein genaues Duplikat ist, und siehe da, die Grundkurve (braun) hat tatsächlich eine niedrigere Frequenz, von der die anderen tatsächlich exakte Duplikate sind.
#2
+4
Oli Glaser
2011-08-24 12:55:22 UTC
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Es kann 5,3 oder 2,486 Zyklen pro Sekunde geben. Dies wäre 5,3 Hz oder 2,483 Hz. Es muss keine ganzzahlige Anzahl von Zyklen in einer Sekunde geben.

Bei nicht periodischen Signalen ist ihnen keine eine Grundfrequenz zugeordnet, kein sich wiederholendes Muster - sie können Vielleicht kann man sich eine periodische Funktion mit einer unendlichen Periode vorstellen. Jedes Signal (einschließlich periodischer Signale) kann jedoch mehrere Frequenzkomponenten aufweisen, und wir können eine Spektrumanalyse eines solchen Signals betrachten, um Frequenzkomponenten zu bestimmen. Bei einer nichtperiodischen Wellenform können die Komponenten kontinuierlich sein, eine periodische Wellenform bleibt (idealerweise) bei harmonisch verwandten Komponenten statisch.

Beispielsweise hat eine Rechteckwelle eine Leistung bei ungeraden Harmonischen der Grundwelle - also einer Rechteckwelle von 1 Hz hätte eine Frequenz 1/3 der Amplitude bei 3 Hz und ein weiteres 1/5 der Amplitude bei 5 Hz usw. bis unendlich (in der Praxis wird unendlich nie erreicht, da sich Signale in der realen Welt nicht sofort ändern können). Diese sind statisch solange sich die Rechteckwelle in Frequenz oder Amplitude nicht ändert. Siehe hier:

Rechteckwellen-Wiki-Seite

Weitere Informationen finden Sie unter Fourier- und Laplace-Transformationen. Die meisten guten Bücher über Signalverarbeitung enthalten viele gute Informationen dazu und vieles mehr.



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