Frage:
Schaltung erster Ordnung, die wie eine Schaltung zweiter Ordnung aussieht
1729_SR
2020-04-11 00:14:29 UTC
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Das angehängte Bild ist eine Schaltung erster Ordnung, da die beiden Zweige der Schaltung entkoppelt sind, aber ich habe Mühe, dies mathematisch zu zeigen.Aus dem Diagramm können wir sofort zwei Gleichungen aus KVL (jede Schleife enthält die unabhängige Quelle) schreiben, die ODEs erster Ordnung in den zwei verschiedenen Kondensatoren sind.Aber ich kann mir keine Beziehung zwischen den beiden Kondensatoren vorstellen.

Wenn jemand explizit zeigen kann, warum dies eine Schaltung erster Ordnung sein muss, würde ich es wirklich begrüßen. enter image description here

Was ist, wenn Vs zeitlich variiert?
Ich nehme an, es könnte sein, aber ist das wichtig?Die Reihenfolge der Schaltung hängt nicht von den unabhängigen Quellen ab.
Haben Sie Bot-Gleichungen kombiniert, um sie zu lösen?Sie sollten irgendwo mit einer zweiten Ableitung enden.Ich habe keinen Bleistift dabei.Meiner Ansicht nach.Es ist lange her.
Nach meinen Vorlesungsunterlagen handelt es sich um eine Schaltung erster Ordnung, sodass keine zweite Ableitung erscheinen sollte.Das ist im Wesentlichen der Kern meiner Frage - warum ist das so?Denn wie Sie wäre mein erster Instinkt gewesen zu sagen, dass dies zweiter Ordnung ist.
Neun antworten:
#1
+7
WhatRoughBeast
2020-04-11 01:22:47 UTC
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Sie haben die Schaltung definiert, aber nicht den Ausgang. Betrachten Sie zum Beispiel die Spannung an der 1 F-Kappe? Nehmen wir das an. Da Ihre Spannungsquelle eine Impedanz von Null hat, ist die Spannung an einem der Kondensatoren (und Sie müssen einen Punkt auswählen) unabhängig von der Existenz (oder dem Fehlen derselben) des anderen RC-Paares.

Die Antwort an einem der Kondensatoren ist also eine Antwort erster Ordnung. Um dies zu berechnen, können Sie den anderen RC entfernen, ohne dass dies Auswirkungen auf Ihre Ergebnisse hat.

EDIT - OP hat mich gebeten, diese Antwort zu konkretisieren. Lassen Sie mich es versuchen.

Nehmen wir an (nur zum Spaß), dass Vs einen Wert von 1 Volt hat. Konventionell sind Spannungsquellen ideale Quellen. Das heißt, eine 1-Volt-Quelle legt unabhängig vom erforderlichen Strom 1 Volt an.

Verbinden Sie nun das 4 Ohm / .5 F RC-Netzwerk. Was ist die Ausgabe von Vs? 1 Volt.

Schließen Sie nun das 4 Ohm / 1 F-Netzwerk an. Was ist die Ausgabe von Vs? 1 Volt.

Die an einem der Kondensatoren erzeugte Spannung ist also unabhängig vom Wert (oder sogar der Existenz) des anderen Kondensators.

Nun zu "Null Impedanz". Vs wird als Spannungsquelle angezeigt, die einen beliebigen Strom liefern kann. Wenn Sie die beiden Ausgänge mit einem 0-Ohm-Widerstand verbinden, erhalten Sie einen unendlichen Strom. Was ist, wenn es anstelle einer idealen Quelle "wirklich" aus einer idealen 1-Volt-Quelle in Reihe mit einem 1-Ohm-Widerstand besteht? Dies bedeutet eine Ausgangsimpedanz von 1 Ohm. Ein Kurzschluss des Ausgangs führt dann zu 1 Ampere, was viel mehr mit realen Spannungsquellen wie Batterien übereinstimmt.

Überlegen Sie nun, was passiert, wenn wir das zuvor erwähnte Verbindungsexperiment durchführen. Entfernen Sie zur Veranschaulichung die Kondensatoren.

Wenn Sie einen einzelnen 4-Ohm-Widerstand an den Ausgang anschließen, wird die Spannungsquelle 1 Ohm in Reihe mit 4 Ohm für insgesamt 5 Ohm und einen Ausgangsstrom von 0,2 Ampere geschaltet. Das Ohmsche Gesetz sagt Ihnen, dass die Spannung am 4-Ohm-Widerstand 0,8 Volt beträgt.

Fügen Sie nun einen zweiten 4-Ohm-Widerstand am Ausgang hinzu.Tatsächlich wird dadurch eine Last von 2 Ohm erzeugt.Die Spannungsquelle sieht 1 Ohm plus 2 Ohm und erzeugt 0,333 Ampere Strom. Die Spannung an der Last beträgt 0,667 Volt - nicht 0,8.

Die Ausgangsimpedanz eines Netzteils wirkt sich also auf die an eine Last gelieferte Spannung aus. Wenn die Ausgangsimpedanz jedoch Null ist, ist die Spannung an der Last unabhängig vom Wert der Last.

Ich hoffe das hilft.

Können Sie das noch etwas näher erläutern?"Da die Spannungsquelle eine Impedanz von Null hat" ... warum hat dies einen Einfluss auf die Frage?Ich hoffe, Sie können mich explizit durch die Schritte führen, die Sie zu dem Schluss geführt haben, dass diese beiden Zweige entkoppelt sind.
@1729_SR Wenn die Spannungsquelle eine Impedanz von Null hat, sehen die beiden Kondensatoren nur Vs.Sie könnten gleichermaßen an zwei verschiedene Netzteile angeschlossen werden, die zufällig die gleiche Spannung haben.Da Sie erwarten, dass sie interagieren, haben Sie die Schaltung vielleicht anders gezeichnet, als Sie gemeint haben?
@1729_SR - Ich habe die Antwort bearbeitet, um Ihre Frage zu beantworten.Ich hoffe, es hilft.
#2
+5
Adam Haun
2020-04-11 02:39:20 UTC
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Es besteht keine Beziehung zwischen den Kondensatoren in Ihrer Schaltung. Die beiden Zweige liegen parallel zu einer Spannungsquelle. Ihr Verhalten ist unabhängig. Hier sind die KCL-Gleichungen:

$$ \ frac {V_S - V_ {C1}} {4 \ Omega} = 0,5 \ mathrm {F} \ cdot \ frac {dV_ {C1}} {dt} $$ span> $$ \ frac {V_S - V_ {C2}} {4 \ Omega} = 1 \ mathrm {F} \ cdot \ frac {dV_ {C2}} {dt} $$

Beachten Sie, dass dies ungekoppelte Gleichungen sind - wir können sie separat lösen. Schauen Sie sich nun diese Schaltung an:

schematic

simulieren diese Schaltung - Schema erstellt mit CircuitLab sup>

Hier sind die KCL-Gleichungen:

$$ \ frac {V_ {S} - V_ {C1}} {R_1} = C_1 \ frac {dV_ {C1}} {dt} + \ frac {V_ { C1} - V_ {C2}} {R_2} $$ span> $$ \ frac {V_ {C1} - V_ {C2}} {R_2} = C_2 \ frac {dV_ {C2}} {dt} $$ span>

Diese Gleichungen teilen den Begriff \ $ ({V_ {C1} - V_ {C2}}) / {R_2} \ $ span>, was bedeutet, dass wir dies nicht können Löse sie separat. Um dieses System zu lösen, lösen Sie zunächst in der zweiten Gleichung nach \ $ V_ {C1} \ $ span>:

$$ V_ {C1} = V_ {C2} + R_2C_2 \ frac {dV_ {C2}} {dt} $$ span>

und Einfügen in \ $ V_ {C1} \ $ span> in der ersten Gleichung. Die erste Gleichung enthält jedoch \ $ {dV_ {C1}} / {dt} \ $ span>! Wenn wir unsere Formel für \ $ V_ {C1} \ $ span> einfügen, müssen wir auch die Ableitung verwenden, die uns die Sekunde gibt Ableitung von \ $ V_ {C2} \ $ span>:

$$ \ frac {dV_ {C1}} {dt} = \ frac {dV_ {C2}} {dt} + R_2C_2 \ frac {d ^ 2V_ {C2}} {dt ^ 2} $$ span>

Deshalb ist es eine Schaltung zweiter Ordnung, Ihre Schaltung (deren Gleichungen entkoppelt sind) nicht.

#3
+2
user287001
2020-04-11 01:02:22 UTC
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Die Reihenfolge der Schaltung? Dieses Konzept muss vereinbart werden, bevor der Fall gelöst werden kann.

Eine Definition: Es ist eine Schaltung erster Ordnung, wenn Sie alle Ströme und Spannungen mit beliebigen Anfangsbedingungen erhalten können, indem Sie nur skalare Differentialgleichungen 1. Ordnung lösen. Die "skalare" Einschränkung besteht darin, dass man formal eine Zustandsvariablenvektorgleichung einer komplexen LC-Schaltung mit Matrizen und der Ableitung 1. Ordnung des Zustandsvariablenvektors erstellen kann.

In Ihrer Schaltung befolgen die Kondensatorspannungen V1 und V2 die Gleichungen dV1 / dt = (Vs-V1) / (R1C1) und dV2 / dt = (Vs-V2) / (R2C2). Beide können getrennt gelöst werden, wenn Vs und der Anfangswert der Kondensatorspannung bekannt sind. Die Ströme können aus den Spannungen und Widerständen berechnet werden

Tatsächlich sind die Differentialgleichungen von V1 und V2 zusammen eine Zustandsvariablenvektorgleichung, aber das Lösen als Gleichungen einer Zustandsvariablen ist möglich, ohne eine Gleichung höherer Ordnung zu erzeugen.

Wenn es vorkommt, dass Vs nicht steif ist, sondern aufgrund des Stroms mehr oder weniger abfällt, verschwinden die Unabhängigkeiten der Zweige und die Schaltung ist von 2. Ordnung.

Was meinst du mit "[wenn] Vs nicht steif ist"?Meinen Sie damit, dass Vs eine echte Quelle mit einem gewissen Innenwiderstand ist?Wenn es nur um den Innenwiderstand der Versorgung geht, ändert dies nichts an der Reihenfolge der zu lösenden ODE.
Können Sie das näher erläutern?Ich sehe, wie ich zwei separate skalare ODEs erster Ordnung habe, aber ich sehe nicht, wie sie ohne zwei Anfangsbedingungen gelöst werden können.Wie kann eine Anfangsbedingung ausreichen, um diese Schaltung zu lösen?
Die Anzahl der Anfangsbedingungen von zwei bedeutet nicht, dass ein System ein System zweiter Ordnung ist, da die Ableitung höchster Ordnung immer noch eins ist.
@1729_SR Ich habe nichts über die Anzahl der Anfangsbedingungen behauptet.2 wird wie in einer Schaltung benötigt, in der 2 Kondensatoren in Reihe geschaltet sind.Ich habe nur behauptet, dass es keine diff.eq 2. Ordnung gibt, wenn jeweils eine Zustandsvariable gelöst wird.
Um kristallklar zu sein, ist dies ein System erster Ordnung, das zwei Anfangsbedingungen erfordert?
Genau das - solange niemand zum Beispiel anfängt zu sagen."In unserem Land gibt es ein Gesetz, das besagt, dass eine Schaltung, die zwei Anfangsbedingungen benötigt, ein System 2. Ordnung ist."Stellen Sie sich eine Schaltung vor, die in Reihe eine ideale Gleichspannungsquelle, einen Widerstand und 2 Kondensatoren enthält.Es benötigt auch Anfangsbedingungen für 2 Kondensatoren, aber definitiv nur eine Differentialgleichung 1. Ordnung.
Aber diese Schaltung benötigt zwei Differentialgleichungen erster Ordnung?Ich glaube, ich habe dich trotzdem, danke!
@jDAQ Der Innenwiderstand ist eine Möglichkeit, die die Ausgangsspannung der Quelle vom Strom abhängig macht.Stiff stammt aus dem Powerline-Vokabular.Ich meine, damit hängt die Ausgangsspannung der Quelle nicht vom Strom ab.
#4
+1
John Doty
2020-04-11 18:35:43 UTC
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Meiner Meinung nach ist dies eine Schaltung zweiter Ordnung.Es ist nur ein Sonderfall, in dem der Koeffizient der zweiten Ableitung in der kombinierten ODE zufällig Null ist, da sich die Zustandsvariablen nicht gegenseitig beeinflussen.Sie können dies sehen, wenn Sie (wie oben vorgeschlagen) die Kopplung über einen Widerstand in Reihe mit Ihrer Quelle einführen und dann untersuchen, was passiert, wenn sich dieser Widerstand Null nähert.

#5
+1
LvW
2020-04-11 19:09:45 UTC
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Frage: Wenn wir eine Schaltung charakterisieren möchten, ist es richtig, nach der BESTELLUNG einer Schaltung zu fragen? Kann eine Schaltung eine Bestellung haben?

Für mich ist es besser, eine bestimmte Übertragungsfunktion zu analysieren, die aus der Schaltung abgeleitet wurde.

Zum Beispiel - wenn wir nach dem Strom durch jeden Zweig fragen oder nach der Spannung an einem der Kondensatoren fragen, haben wir natürlich eine 1-Ordnung-Gleichung (Tiefpass).

Andererseits ist der Ausdruck des Gesamtstroms durch die Schaltung ein 2nd, da die Gesamtleitfähigkeit (oder die Gesamtimpedanz Z1 || Z2) zweiter Ordnung ist (siehe die Antwort von "einem betroffenen Bürger") -order expression.

EDIT: Klares und beschreibendes example:

In einigen realen Fällen haben wir eine Signalspannungsquelle, die gleichzeitig einen Tiefpass und einen Hochpass ansteuert. Sagen wir jeweils von zweiter Ordnung.

Würden Sie sagen, dass wir eine einzige Schaltung 4. Ordnung haben? Nein natürlich nicht. Wiederum - eine SCHALTUNG kann keine bestimmte Reihenfolge haben - ist eine von dieser Schaltung abgeleitete Funktion, die durch die Reihenfolge dieser Funktion (Eingangswiderstand, Übertragungsfunktion, ..)

beschrieben wird

Natürlich ist die Situation völlig anders, wenn die Signalquelle einen internen Quellenwiderstand hat. In diesem Fall sind beide Filter nicht voneinander isoliert, da der Strom in eine Schaltung den Spannungsabfall über dem Quellenwiderstand bestimmt und daher die Eingangsspannung für die andere Schaltung beeinflusst

Fazit: Es ist nicht die Schaltung, sondern eine bestimmte Variable oder Funktion, die analysiert werden muss, während nach der Bestellung gefragt wird.

Wir können die Ströme für jeden Zweig finden, der die Gleichung 1. Ordnung löst.Wie kann der Gesamtstrom also 2. Ordnung sein?Der Gesamtstrom ist die Summe von ihnen.
Wenn Sie beide Ausdrücke für die Ströme hinzufügen und einige mathematische Regeln anwenden, um nur einen Ausdruck zu erhalten, ist der gemeinsame Nenner zweiter Ordnung.
#6
+1
Arihant
2020-04-11 23:09:34 UTC
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Es ist ein System zweiter Ordnung.Sie können sich die Impedanzfunktion Z (s) = V (s) / I (s) ansehen, die s ^ 2 ist.Außerdem ist die Reihenfolge des Systems gleich "unabhängigen Energiespeicherelementen" in diesem System.Dies liegt daran, dass jedes unabhängige Energiespeicherelement einer Zustandsvariablen zugeordnet ist.In dem obigen ckt gibt es zwei Kondensatoren, die nicht durch einen einzelnen äquivalenten Kondensator ersetzt werden können, daher ist die Reihenfolge 2.

#7
  0
a concerned citizen
2020-04-11 18:08:23 UTC
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Sie scheinen sich sehr sicher zu sein, dass dies eine Schaltung erster Ordnung ist.Mal sehen, vielleicht ist die Annahme keine so gute Idee:

$$ \ begin {align} Z_1 & = R_1 + \ frac {1} {sC_1} = \ frac {sC_1R_1 + 1} {sC_1} \\ Z_2 & = R_2 + \ frac {1} {sC_2} = \ frac {sC_2R_2 + 1} {sC_2} \\ Z_1 || Z_2 & = \ frac {1} {\ frac {1} {Z_1} + \ frac {1} {Z_2}} = \ frac {C_1C_2R_1R_2s ^ 2 + (C_1R_1 + C_2R_2) s + 1} {C_1C_2 (R_1 + R_2) s ^ 2 + (C_1 + C_2) s} \ end {align} $$ span>

Dies ist nur dann der 1. Ordnung, wenn beide Widerstände und beide Kondensatoren gleich sind.Im Allgemeinen ist die Reihenfolge der Schaltung durch die Anzahl der reaktiven Elemente gegeben: zwei Kondensatoren 2. Ordnung

#8
  0
Frenchy
2020-04-12 02:42:47 UTC
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Dies ist eine Gleichung erster Ordnung.Es kann einfacher sein zu erklären, ob eine Fourier- oder Laplace-Transformation angewendet wird.Sobald dies erledigt ist, macht das parallele Kombinieren der beiden leicht ersichtlich, dass dies eine Schaltung erster Ordnung ist.Das beigefügte Bild zeigt die Mathematik. enter image description here

#9
  0
akash nagaria
2020-04-12 14:35:06 UTC
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Die Reihenfolge der Schaltung hängt von der Nr.von "effektiven" Speicherelementen. Mit dem Begriff effektiv meinen wir diejenigen Elemente (Induktor oder Kondensator), die nicht weiter getrennt werden können

Wie in der gegebenen Schaltung gibt es 2 Kondensatoren. Aber wir können immer die zwei parallelen RC-Zweige lösen, die einen äquivalenten einzelnen RC-Zweig ergeben.

ckt besteht also im Grunde aus 1) Quelle Vs in Reihe mit einem äquivalenten Widerstand Req und einem äquivalenten Kondensator Ceq

Insgesamt ist das "effektive" Speicherelement also 1. und daher ist die Reihenfolge 1.

Ich würde das die Reihenfolge der Übertragungsfunktion vom Spannungseingang zum Spannungsausgang nennen.Die Schaltung als Ganzes hat eine Ordnung von 2.


Diese Fragen und Antworten wurden automatisch aus der englischen Sprache übersetzt.Der ursprüngliche Inhalt ist auf stackexchange verfügbar. Wir danken ihm für die cc by-sa 4.0-Lizenz, unter der er vertrieben wird.
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